離散的および連続的確率分布

確率 (Probability)

全事象において、条件 A が起こりうる確率を P(A) とする。

この時、A ∩ B となる確率は、P(A ∩ B) である。

P(A ∩ B) = 0 の場合、条件 A と B は互いに排反事象であると言える。
P(A) + P(B) = 1 の場合、条件 A と B は互いに余事象であると言える。

条件 A のうち、B が満たされる確率は、P(B | A) と表す。
この時、P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) となる。

∴ P(A ∩ B) = P(B | A) * P(A) = P(A | B) * P(B)

眼鏡をかけている人を A、女性を B とする。

眼鏡をかけている人のうち女性の割合 : P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)

女性のうち眼鏡をかけている人の割合 : P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

眼鏡をかけている人のうち男性の割合 : P(A | B') = P(A ∩ B') / P(B')

ある電機小売店の店主は A、B、C のメーカーから電球を仕入れている。
A から 30%、B から 45%、C から 25% の電球を仕入れているが、
このうち、A と B の電球には 1% の不良品があり、C の電球には 2% の不良品がある。
いま、電球 1 個を選んだ時にそれが不良品だった時に、C の電球である確率はいくらか。
電球が不良品である確率を F とすると、

P(F) = P(A ∩ F) + P(B ∩ F) + P(C ∩ F)

P(A) = 0.3, P(B) = 0.45, P(C) = 0.25

P(F | A) = 0.01, P(F | B) = 0.01, P(F | C) = 0.02

求めるべき確率は、不良品のうち C である割合なので P(C | F) となる。
P(C | F)
= P(C ∩ F) / P(F)
= P(C ∩ F) / P(A ∩ F) + P(B ∩ F) + P(C ∩ F)
= (P(F | C) * P(C)) / {P(F | A) * P(A) + P(F | B) * P(B) + P(F | C) * P(C)}
= (0.02 * 0.25) / (0.01 * 0.3 + 0.01 * 0.45 + 0.02 * 0.25)
= 0.4 = 40%

袋の中に赤玉 4 個，白玉 3 個，黒玉 5 個があり、
3 個の玉を取り出すとするとき次のものを求めよ。
1) 3 つとも赤玉である確率
2) 3 つとも同色である確率
全事象 : ₁₂C₃ = 220 (通り)

1) 3 つとも赤玉である場合 : ₄C₃ = 4 (通り)

∴ ₄C₃ / ₁₂C₃ = 1 / 55 = 1.8%

2) 3 つとも同色である場合 : ₄C₃ + ₃C₃ + ₅C₃ = 15 (通り)

∴ (₄C₃ + ₃C₃ + ₅C₃) / ₁₂C₃ = 3 / 44 = 6.8%

問題 1

トランプ５２枚から１３枚を抜き取ったとき８枚がスペードである確率は？

₁₃C₈ * ₃₉C₅ / ₅₂C₁₃ = 0.117%

トランプ５２枚から１３枚を抜き取ったときｘ枚がスペードである確率P(x)は？

P(x) = ₁₃C_x * ₃₉C_(13-x) / ₅₂C₁₃

袋の中に赤玉４個，白玉３個，黒玉５個がある。３個の玉を取り出してすべて異色である確率は？

(₄C₁ * ₃C₁ * ₅C₁) / ₁₂C₃ = 27.27%

袋の中に赤玉４個，白玉３個，黒玉５個がある。３個の玉を取り出すときすべて色の組合せの確率P(r,w,b)は？

P(r,w,b) = (₄C_r * ₃C_w * ₅C_b) / ₁₂C₃

問題 2

１０人の誕生日がダブる確率は？

1 - ₃₆₅P₁₀ / 365¹⁰ = 11.69%

x人の誕生日がダブる確率P(x)は？

P(x) = 1 - ₃₆₅P_x / 365^x

２択問題１０題をランダムに答えて６０点以上とれる確率は？

(₁₀C₆ + ₁₀C₇ + ₁₀C₈ + ₁₀C₉ + ₁₀C₁₀) / 2¹⁰ = 37.70%

x 択問題 y 題をランダムに答えて６０点以上とれる確率 P は？

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問題 3

Ａ，Ｂ，Ｃ３人が受験した。これまでの成績からして彼らが合格する確率はそれぞれ80%，50％、30％である。次の確率を求めよ。
1) ３人とも合格する確率
2) ２人だけが合格する確率
3) ３人のうち少なくとも１人は合格する確率

1) 3 人合格する確率 : 0.8 * 0.5 * 0.3 = 12%

2) 2 人だけ合格する確率 :

P(A ∩ B ∩ C') = 0.8 * 0.5 * (1 - 0.3)
P(A ∩ B' ∩ C) = 0.8 * (1 - 0.5) * 0.3
P(A' ∩ B ∩ C) = (1 - 0.8) * 0.5 * 0.3
P(A ∩ B ∩ C') + P(A ∩ B' ∩ C) + P(A' ∩ B ∩ C) = 43%

3) 3 人のうち少なくとも 1 人は合格する確率 : 1 - P(A' ∩ B' ∩ C')

P(A' ∩ B' ∩ C') = (1 - 0.8) * (1 - 0.5) * (1 - 0.3)
1 - P(A' ∩ B' ∩ C') = 93%