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順列と組み合わせ

順列 (Permutation)

nPr = n! / (n - r)!
Excel : PERMUTE(n, r)

5 人のうち 3 人を 3 つの席に座らせるには?
  • 5P3 = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 30 (通り)

男女 3 人ずつを交互に並べるには?
  • 3! * 3! * 2 = 72 (通り)

10 円玉、100 円玉 3 枚ずつを並べるには?
  • 6! / (3! * 3!) = 20 (通り)

組み合わせ (Combination)

nCr = nPr / r! = (n! / (n - r)!) / r!
Excel : COMBIN(n, r)

9 人を 4 人、3 人、2 人に分けるには?
  • 9C4 * 5C3 * 2C2 = 9! / (4! * 3! * 2!) = 1260 (通り)

9 人を 3 人、3 人、3 人に分けるには?
  • 9C3 * 6C3 * 3C3 / 3P3 = (9! / (3! * 3! * 3!)) / 3! = 280 (通り)

問題 1

0 から 5 までの数で出来る 3 桁の数は?そのうち偶数と奇数は?
  • 5 * 5 * 4 = 100 (通り)
  • 奇数 : {一の位:1,3,5} * {百の位:[1,2,3,4,5] - 1} * {十の位:残り} = 3 * 4 * 4 = 48 (通り)
  • 偶数 : 100 - 48 = 52 (通り)

トランプ 52 枚から 13 枚を抜き取るには?そのうちすべて赤なのは?
♠ 5 枚、♦ 4 枚、♣ 3 枚、♥ 1 枚となるのは?
  • 52C13 = 52! / (52-13)! / 13! = 635013559600 (通り)
  • すべて赤 : 26C13 = 10400600 (通り)
  • ♠ 5 枚、♦ 4 枚、♣ 3 枚、♥ 1 枚 : 13C5 * 13C4 * 13C3 * 13C1 = 3421322190 (通り)

問題 2

100 人から 1 等、2 等、3 等を選ぶには?また入賞者を 3 人選ぶには?
  • 100P3 = 970200 (通り)
  • 入賞者 : 100C3 = 161700 (通り)

6 人を 1 人、2 人、3 人に分けるには?
また、2 人、2 人、2 人に分けるには?
  • [1-2-3] : 6C1 * 5C2 * 3C3 = 6! / (1! * 2! * 3!) = 60 (通り)
  • [2-2-2] : 6C2 * 4C2 * 2C2 / 3P3 = 15 (通り)

問題 3

(x - 2)6 の各係数は?
  • (x - 2)6
  • = 6C0x6 + 6C1x5(-2) + 6C2x4(-2)2 + 6C3x3(-2)3 + 6C4x2(-2)4 + 6C5x(-2)5 + 6C6(-2)6
  • = x6 + (6 * -2)x5 + (15 * 4)x4 + (20 * -8)x3 + (15 * 16)x2 + (6 * -32)x + 64
  • = x6 - 12x5 + 60x4 - 160x3 + 240x2 - 192x + 64

(x + y)n の各係数は?
  • xry(n - r) の係数は nCr * (n - r)C(n - r) = nCr

(x + y + z)n の各係数は?
  • xpyqzr の係数は nCp * (n - p)Cq * (n - p - q)Cr = n! / (p! * q! * r!) [ただし、p + q + r = n]

(x + 1/x)4 の x を含まない項の係数は?
  • 4C2 = 6