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順列と組み合わせ

順列 (Permutation)

n P r = n! / (n - r)!
Excel : PERMUTE(n, r)

5 人のうち 3 人を 3 つの席に座らせるには?
  • 5 P 3 = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 30 (通り)

男女 3 人ずつを交互に並べるには?
  • 3! * 3! * 2 = 72 (通り)

10 円玉、100 円玉 3 枚ずつを並べるには?
  • 6! / (3! * 3!) = 20 (通り)

組み合わせ (Combination)

n C r = n P r / r! = (n! / (n - r)!) / r!
Excel : COMBIN(n, r)

9 人を 4 人、3 人、2 人に分けるには?
  • 9 C 4 * 5 C 3 * 2 C 2 = 9! / (4! * 3! * 2!) = 1260 (通り)

9 人を 3 人、3 人、3 人に分けるには?
  • 9 C 3 * 6 C 3 * 3 C 3 / 3 P 3 = (9! / (3! * 3! * 3!)) / 3! = 280 (通り)

問題 1

0 から 5 までの数で出来る 3 桁の数は?そのうち偶数と奇数は?
  • 5 * 5 * 4 = 100 (通り)
  • 奇数 : {一の位:1,3,5} * {百の位:[1,2,3,4,5] - 1} * {十の位:残り} = 3 * 4 * 4 = 48 (通り)
  • 偶数 : 100 - 48 = 52 (通り)

トランプ 52 枚から 13 枚を抜き取るには?そのうちすべて赤なのは?
♠ 5 枚、♦ 4 枚、♣ 3 枚、♥ 1 枚となるのは?
  • 52 C 13 = 52! / (52-13)! / 13! = 635013559600 (通り)
  • すべて赤 : 26 C 13 = 10400600 (通り)
  • ♠ 5 枚、♦ 4 枚、♣ 3 枚、♥ 1 枚 : 13 C 5 * 13 C 4 * 13 C 3 * 13 C 1 = 3421322190 (通り)

問題 2

100 人から 1 等、2 等、3 等を選ぶには?また入賞者を 3 人選ぶには?
  • 100 P 3 = 970200 (通り)
  • 入賞者 : 100 C 3 = 161700 (通り)

6 人を 1 人、2 人、3 人に分けるには?
また、2 人、2 人、2 人に分けるには?
  • [1-2-3] : 6 C 1 * 5 C 2 * 3 C 3 = 6! / (1! * 2! * 3!) = 60 (通り)
  • [2-2-2] : 6 C 2 * 4 C 2 * 2 C 2 / 3 P 3 = 15 (通り)

問題 3

(x - 2) 6 の各係数は?
  • (x - 2) 6
  • = 6 C 0 x 6 + 6 C 1 x 5 (-2) + 6 C 2 x 4 (-2) 2 + 6 C 3 x 3 (-2) 3 + 6 C 4 x 2 (-2) 4 + 6 C 5 x(-2) 5 + 6 C 6 (-2) 6
  • = x 6 + (6 * -2)x 5 + (15 * 4)x 4 + (20 * -8)x 3 + (15 * 16)x 2 + (6 * -32)x + 64
  • = x 6 - 12x 5 + 60x 4 - 160x 3 + 240x 2 - 192x + 64

(x + y) n の各係数は?
  • x r y (n - r) の係数は n C r * (n - r) C (n - r) = n C r

(x + y + z) n の各係数は?
  • x p y q z r の係数は n C p * (n - p) C q * (n - p - q) C r = n! / (p! * q! * r!) [ただし、p + q + r = n]

(x + 1/x) 4 の x を含まない項の係数は?
  • 4 C 2 = 6