用語まとめ by Tex

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\begin{document}

\title{用語解説とかいろいろ}

\author{}

\date{}

\maketitle

\section{数論の基本用語}
\subsection{定義域(domain)}
関数の入力になりえるものの集合のこと.\\

\subsection{値域(range)}
関数の出力になりえるものの集合のこと.\\

\subsection{元}
集合に属しているものを,その集合の元または要素という.\\
aが集合Aの元であるとき,$a\in A$と表す.\\

\subsection{位数}
集合Aの元の個数を位数(order)という.\\

\subsection{原始元}
集合$Z_p$($p$:素数)における乗法群${Z_p}^*={1,\ \dots\ ,p-1)}$は,位数が$p-1$の巡回群となり,その生成元(位数が$p-1$の元)を${Z_p}^*$における原始元と呼ぶ.

\subsection{最小公倍数}
LCM(Least Common Multiple) と略されることが多い.

\subsection{最大公約数}
GCD(Greatest Common Divisor),GCM(Greatest Common Measure),もしくは GCF(Greatest Common Factor) と省略されることが多い.

\subsection{群}
集合$\Bbb{G}$の元に対して，ある演算$*$(加法または乗法と考えてよい)が定義され，以下の公理を満たす時，集合$\Bbb{G}$を群という.
\begin{description}
\item 1.$\Bbb{G}$は演算$*$について閉じている.
\item 2.任意の元$a, b, c \in \Bbb{G}$に対して,$(a*b)*c=a*(b*c)$が成り立つ(結合法則).
\item 3.任意の元$a\in \Bbb{G}$に対して,$a*e=e*a=a$を満たす元$e\in \Bbb{G}$が存在する(単位元の存在).
\item 4.任意の元$a\in \Bbb{G}$に対して,$a*x=x*a=e$を満たす元$e\in \Bbb{G}$が存在する(逆元の存在).
\end{description}
任意の元$a\in \Bbb{G}$に対して,$a*b=b*a$が成り立つ時、$\Bbb{G}$を可換群という。

\subsection{環}
集合$\Bbb{R}$の元に対して、加法$+$及び乗法$\cdot$が定義され、集合$\Bbb{R}$が以下の公理を満たす時、集合$\Bbb{R}$を環という。
\begin{description}
\item 1.$\Bbb{R}$は加法$+$について可換群である.
\item 2.$\Bbb{R}$は乗法$\cdot$について閉じている.
\item 3.任意の元$a, b, c\in \Bbb{R}$に対して,$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$が成り立つ(結合法則).
\item 4.任意の元$a, b, c\in \Bbb{R}$に対して,$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$及び$(a+b)\cdot =a\cdot c+b\cdot c$が成り立つ(分配法則).
\end{description}
任意の元$a,b\in \Bbb{R}$に対して,$a\cdot b=b\cdot a$が成り立つ時、$\Bbb{R}$を可換環という。

\subsection{体}
集合$\Bbb{K}$の元に対して、加法$+$及び乗法$\cdot$が定義され、集合$\Bbb{K}$が以下の公理を満たす時、集合$\Bbb{K}$を体という。
\begin{description}
\item 1.$\Bbb{K}$は環である.
\item 2.$\Bbb{K}$は加法の単位元0を除いて乗法$\cdot$について群である.
\end{description}
任意の元$a,b\in \Bbb{K}$に対して,$a\cdot b=b\cdot a$が成り立つ時、$\Bbb{K}$を可換体という。

\subsection{}

\section{定義}
\subsection{honest}
a function $f$ is said to be honest if there exists some polynomial $p$ such that for any elements $y \in $ range$(f)$ there exists $x \in$ dom($f$) such that $y=f(x)$ and $|x| \leq p(|y|)$.

$y \in $ range$(f)$において,$y=f(x)$ かつ $|x| \leq p(|y|)$であるような$x \in$ dom($f$)が少なくとも1つ存在するような多項式$p$がいくつか存在するならば,関数$f$はhonestと呼ばれる.

\subsection{completely honest}
a function $f$ is said to be completely honest if there exists some polynomial $p$ such that for all elements $y \in $ range$(f)$ and for all elements $x \in$ dom($f$), if $y=f(x)$ than $|x| \leq p(|y|)$.

全ての要素$y \in $ range$(f)$と全ての要素$x \in$ dom($f$)において,もし $y=f(x)$である時$|x| \leq p(|y|)$となる多項式$p$がいくつか存在するならば関数$f$はcompletely honestと呼ばれる.\\

%\begin{description}
%\item[]
%\item[]
%\item[]
%\item[]
%\item[]
%\end{description}

%\begin{thebibliography}{9}
%\bibitem {文献1}
%\vspace {-4mm}
%\bibitem {文献2}
%\vspace {-4mm}
%\end{thebibliography}

\end{document}